ちょっと、そこ！私はのサプライヤーです半軸、そして今日、座標ジオメトリを使用して楕円の半軸を計算する方法についてチャットしたいと思います。最初は少し技術的に聞こえるかもしれませんが、私を信じてください、それは見た目ほど複雑ではありません。
楕円とは何ですか？
計算に飛び込む前に、楕円が何であるかをすばやく見てみましょう。楕円は、曲線上の任意のポイントから2つの固定点（焦点と呼ばれる）までの距離の合計が一定である平面内の閉じた曲線です。あなたはそれを押しつぶされた円と考えることができます。 2つの軸があります。楕円の最長直径である主軸と、最短直径であるマイナー軸です。半軸（a）および半軸（b）は、それぞれ主軸と単軸の半分です。
楕円の標準方程式
座標平面の原点（（0,0））を中心とする楕円の標準方程式は、その方向に応じて2つの形式で提供されます。
水平楕円
主軸がx軸に沿っている場合、楕円の標準方程式は（\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1）、（a> b> 0）です。ここで、（a）は半軸であり、（b）は半軸です。
垂直楕円
主軸がy -軸に沿っている場合、標準方程式は（\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1）、ここで（a> b> 0）です。繰り返しますが、（a）は半軸であり、（b）は半軸です。
方程式からの半軸を計算します
楕円の方程式があるとしましょう。たとえば、方程式（\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1）を考慮してください。 （x^{2}）下の分母は大きいため（（25> 9））、主軸はx軸に沿っています。
水平楕円の標準形式は（\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1）であることを知っています。 （\ frac {x^{2}} {25}+\ frac {y^{2}} {9} = 1）を標準形式と比較すると、（a^{2} = 25）および（b^{2} = 9）がわかります。
（a）および（b）を見つけるには、それぞれの値の平方根を取ります。したがって、（a = \ sqrt {25} = 5）および（b = \ sqrt {9} = 3）。ここで、（a = 5）は半軸であり、（b = 3）は半軸です。
（\ frac {x^{2}} {4}+\ frac {y^{2}} {16} = 1）のような方程式がある場合、（y^{2}）の分母は大きいため（（16> 4））、主軸はy軸に沿っています。
標準フォーム（\ frac {x^{2}} {b^{2}}+\ frac {y^{2}} {a^{2}} = 1）と比較すると、（b^{2} = 4）および（a^{2} = 16）があります。正方形の根をとると、（b = 2）と（a = 4）が得られます。したがって、半軸（a = 4）と半軸（b = 2）。
楕円上のポイントからの半軸を計算する
時々、楕円の方程式を直接与えられるのではなく、楕円上のいくつかのポイントを与えられることもあります。起源を中心とした楕円があると仮定し、楕円に2つのポイント（X_2、Y_1）と（（X_2、Y_2））を知っています。
水平楕円（\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1）の場合、ポイントを置き換えた場合（（x_1、y_1））、（x_2、y_2）を取得します。
（\ frac {x_ {1}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {1}^{2}} {b^{2}} = 1）and （\ frac {x_ {2}^{2}} {a^{2}}+\ frac {y_ {2}^{2}} {b^{2}} = 1）
let（u = \ frac {1} {a^{2}}）および（v = \ frac {1} {b^{2}}）。次に、方程式は（x_ {1}^{2} u + y_ {1}^{2} v = 1）になります。
置換や除去などの方法を使用して、（u）および（v）の線形方程式のこのシステムを解くことができます。 （u）と（v）があると、（a = \ frac {1} {\ sqrt {u}}）および（b = \ frac {1} {\ sqrt {v}}）を見つけることができます。
たとえば、楕円にポイント（（3,0））および（（0,2））がある場合。
（（3,0）））に（\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1）に置き換えます（\ frac {3^{2}} {a^{2}}+\ frac {0^{2}} {b^{2}} = 1）。
（（0,2））を（\ frac {x^{2}} {a^{2}}+\ frac {y^{2}} {b^{2}} = 1）に置き換えます（\ frac {0^{2}} {a^{2}}+\ frac {2^{2}} {b^{2}} = 1）。
実生活のアプリケーション
楕円の半軸の計算には、多くの実際のライフアプリケーションがあります。天文学では、太陽の周りの惑星の軌道は楕円形です。これらの軌道の半軸を計算することにより、天文学者は異なる時期に惑星の位置を予測できます。
エンジニアリングでは、アーチやドームなどの構造の設計に楕円形が使用されます。半軸を知ることは、これらの構造の寸法と強度を決定するのに役立ちます。
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参照
- アントン、ハワード。 「Calculus：初期の超越。」ワイリー、2012年。
- ラーソン、ロン。 「微積分。」 Cengage Learning、2018。